ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ КВАДРАТИЧНЫМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЦИКЛАМИ

Abstract

Рассматривается динамическая система второго порядка с полиномами третьей степени в правых частях и соответствующее ей дифференциальное уравнение первого порядка, правая часть которого – отношение вышеуказанных полиномов. Найдены необходимые и достаточные условия существования у такой системы частного алгебраического интеграла, который определяется уравнением замкнутой кри-вой второго порядка, в частности каноническим уравнением окружности. Определен вид системы в слу-чае наличия двух частных алгебраических интегралов в виде замкнутых кривых второго порядка и дока-зано, что в случае окружности и эллипса исходная система не может иметь предельных циклов. Установ-лено, что если такая система имеет предельные циклы, то они задаются уравнениями двух окружностей, центр одной из них совпадает с началом координат. Поскольку рассматриваемые окружности не явля-ются концентрическими, то указаны условия, при которых они не пересекаются. Построен целый класс систем, обладающих двумя предельными циклами в виде окружностей в действительной области изме-нения переменных.