О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта из некоторого ее добавления

Abstract

Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Добавлением к подгруппе A в группе G называется подгруппа B такая, что G = AB. Конечные группы, в которых силовская подгруппа перестановочна с некоторыми подгруппами Шмидта, исследовались в работах Я. Г. Берковича и Э. М. Пальчика (Сиб. мат. журнал. 1967. T. 8, № 4. C. 741– 753), В. Н. Княгиной и В. С. Монахова (Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130–139). В этой ситуации группа может быть неразрешимой. Например, в группах Sz(8), PSU(5, 4), PSU(4, 2), PSp(4, 4) вообще нет подгрупп Шмидта нечетного порядка, поэтому в этих группах любая силовская подгруппа перестановочна с любой подгруппой Шмидта нечетного порядка. В данной работе устанавливается r-разрешимость конечной группы G при условии, что нечетное r не является числом Ферма и силовская r-подгруппа R перестановочна с 2-нильпотентными (или 2-замкнутыми) подгруппами Шмидта четного порядка из некоторого добавления к R в G. Приведены примеры, показывающие, что ограничения на r не являются лишними.